Από τον πολυέλαιο στο g

Απλό εκκρεμές

Καθηγητής:     Μπράβο παιδιά, βλέπω ότι φέρατε όλοι τις εργασίες σας με το νόμο του Χουκ, την πυκνότητα και το βάρος του Παρθενώνα. Άρα εμπεδώσατε τις έννοιες βαρυτική μάζα και τη σχέση της με το βάρος.

Δήμητρα:        Γιατί την χαρακτηρίζετε βαρυτική μάζα, υπάρχει και άλλη μάζα;

Καθηγητής:     Η απάντηση είναι, ναι υπάρχει, αλλά θα ασχοληθούμε με αυτή σε επόμενο μάθημα. Για την ώρα θα ασχοληθούμε με κάτι άλλο αν δεν έχετε άλλη παρατήρηση.

Χριστίνα:        Αν κατάλαβα καλά, για τη βαθμονόμηση του δυναμόμετρου, το πηλίκο βάρος προς μάζα ενός σώματος, στη Γη είναι 9,8 N/kg, στη σελήνη 1,6 N/kg και στον Άρη 3,75 N/kg.

Καθηγητής:     Πολύ σωστή τόσο η παρατήρησή σου, όσο και οι μονάδες που χρησιμοποίησες.

Χριστίνα:        Ναι, αλλά πού τους βρήκαμε αυτούς τους αριθμούς;

Καθηγητής:     Εδώ και 30 χρόνια που διδάσκω, είναι μετρημένες στα δάχτυλα οι φορές που αντιμετώπισα τέτοια ερωτήματα και αυτό με υποχρεώνει να αλλάξω τη ροή του μαθήματος που σχεδίαζα για σήμερα. Μισό λεπτό να ελέγξω τις σημειώσεις μου…………….

Η απάντηση ξεκινάει όταν μια μέρα του 1581 ένας νεαρός 17 ετών, ο Ιταλός Γαλιλαίο, πήγε στον καθεδρικό ναό της Πίζα να εκκλησιαστεί. Παρατήρησε ότι ο ταλαντούμενος πολυέλαιος της εκκλησίας είχε σταθερή περίοδο ταλάντωσης, ανεξάρτητη του πλάτους ταλάντωσής του.

Νίκος:             Πώς μέτρησε την περίοδο, είχαν ρολόγια τότε;

Καθηγητής:     Είχαν, τα ηλιακά ρολόγια, αλλά ήταν πολύ αργά για μια τέτοια μέτρηση, γι’ αυτό χρησιμοποίησε τους παλμούς της καρδιάς του μέσω του σφυγμού του. Σπίτι του, άρχισε να πειραματίζεται με σπάγκους και βαρίδια και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η περίοδος του εκκρεμούς ήταν ανεξάρτητη της μάζας των σωμάτων, ενώ εξαρτιόταν από το μήκος του σπάγκου.

Βαγγέλης:       Και πώς προέκυψε το 9,8 N/kg;

Καθηγητής:     Χρειάστηκαν άλλα 75 χρόνια ώστε ένας άλλος νέος, ο Ολλανδός Χόιχενς, το 1656 σκέφτηκε να χρησιμοποιήσει την παρατήρηση του Γαλιλαίο και να κατασκευάσει τα πρώτα μηχανικά ρολόγια που κυβέρνησαν τον κόσμο τα επόμενα 300 χρόνια. Είχε συνειδητοποιήσει ότι το τετράγωνο της περιόδου απλού εκκρεμούς είναι ανάλογο του μήκους του.

Βαγγέλης:       Και το 9,8 N/kg;

Καθηγητής:     Η υπομονή είναι χάρισμα του επιστήμονα. Θα φτάσουμε στην απάντηση με τη βοήθεια ενός τρίτου επιστήμονα που στα 45 του, το 1687, ολοκλήρωσε και εξέδωσε τη μελέτη του πάνω στην κίνηση των σωμάτων, που τον παίδευε επί 20 χρόνια, από το 1666. Ήταν ο Νεύτων με το έργο του γνωστό ως «Principia».

Σε αυτό αναφερόταν και στο νόμο της παγκόσμιας έλξης, ότι δηλαδή δύο σώματα από τη στιγμή που υπάρχουν έλκονται με μία δύναμη που είναι ανάλογη προς τις μάζες των σωμάτων και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της μεταξύ τους απόστασης. Με τη γλώσσα των συμβόλων F=GMm / r² όπου G μια παγκόσμια σταθερά, M και m οι δύο μάζες και r η απόσταση των κέντρων μάζας των. Για τα σώματα μάζας m που βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης το M εκφράζει τη μάζα της Γης και το r την ακτίνα της.

Ελένη:                         Άντε τώρα να υπολογίσεις τη μάζα και την ακτίνα της Γης ή των άλλων ουρανίων σωμάτων.

Καθηγητής:     Η ακτίνα της Γης ήταν γνωστή από το 240 π.Χ. με το περίφημο πείραμα του Ερατοσθένη που επαναλαμβάνεται προς τιμή του και σήμερα από πολλά σχολεία σε όλο τον κόσμο, κάθε εαρινή ισημερία.

Χαρά:              Και με τη μάζα της Γης, τι γίνεται, τη μετρήσαμε με μία τεράστια ζυγαριά;

Καθηγητής:     Όχι βέβαια, χρειάστηκαν πάνω από 100 χρόνια από την έκδοση των Principia ώστε ο Κάβεντις με το ιδιοφυές πείραμά του υπολόγισε την παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας και με τη βοήθειά της, τη μάζα της Γης.

Στην επιφάνεια κάθε πλανήτη ή ουράνιου σώματος, το πηλίκο GM/r² παραμένει σταθερό και είναι ίσο με την επιτάχυνση της βαρύτητάς του g=GM/r².

Τασία:             Και το εκκρεμές, πού βοήθησε στον υπολογισμό του g;

Καθηγητής:     Το εκκρεμές θα βοηθήσει εμάς στον υπολογισμό του. Αλλά πέστε μου τι καλείται βάρος w ενός σώματος;

Μιχάλης:         Βάρος  w, καλείται η δύναμη με την οποία η Γη έλκει τα σώματα.

Καθηγητής:     Και πώς υπολογίζεται σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης;

Ανδρέας:         Εύκολο w= GMm/r² ή w=mg.

Φραντζέσκα:   Άρα, τελειώσαμε.

Καθηγητής:     Τι εννοείς;

Φραντζέσκα:   Με ένα συγκριτικό ζυγό μετρούμε τη μάζα ενός σώματος, με το δυναμόμετρο μετρούμε το βάρος του, διαιρούμε το βάρος με τη μάζα του και αποκαλύπτεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. 

Καθηγητής:     Ενδιαφέρον το σκεπτικό σου, αλλά ας το παρακολουθήσουμε. Η μάζα είναι ένα θεμελιώδες μέγεθος και ως τέτοιο, επιλέξαμε αυθαίρετα ένα κύλινδρο κατασκευασμένο από κράμα ιριδιούχου λευκόχρυσου, διαμέτρου 39mm και ύψους 39mm (σαν εκπρόσωπο της μάζας ενός λίτρου νερού στους τέσσερείς βαθμούς Κελσίου), τον βαπτίσαμε πρότυπο χιλιόγραμμο και γεμίσαμε τον κόσμο με αντίγραφά του, υποπολλαπλάσιά και πολλαπλάσιά του, ώστε με συγκριτικούς ζυγούς να μετράμε τις μάζες διαφόρων σωμάτων. Συμβαίνει το ίδιο και με τη δύναμη;

Νίκος:             Όχι, τα θεμελιώδη μεγέθη της μηχανικής είναι το μήκος, η μάζα και ο χρόνος. Για τη δύναμη χρησιμοποιούμε το 1Ν που είναι παράγωγο μέγεθος. Συμφωνήσαμε να τη μετρούμε με το δυναμόμετρο που βαθμολογήσαμε σε προηγούμενο μάθημα.

Φραντζέσκα:   Ωχ, έχετε δίκιο. Με το σκεπτικό μου κάνουμε γύρω – γύρω. Για να το βαθμολογήσουμε χρησιμοποιήσαμε το g = 9,8 N/kg.

Καθηγητής:     Γι’ αυτό σήμερα θα χρησιμοποιήσουμε το εκκρεμές που αποτελείται από……

Νίκος:             Ένα βαρίδι δεμένο στην άκρη ενός νήματος, η άλλη άκρη του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο. Αν το εκτρέψουμε από τη θέση ισορροπίας του, ταλαντώνεται υπό την επίδραση του βάρους του με σταθερή περίοδο, ανεξάρτητη του πλάτους ταλάντωσής του κατά Γαλιλαίο.

Καθηγητής:     Ωραία, σε άλλη τάξη θα αποδείξουμε, ότι αν η εκτροπή από τη θέση ισορροπίας του είναι μικρή, έως και 5 μοίρες, τότε η περίοδός του T σε σχέση με το μήκος του l, δίνεται από τον τύπο 

Με δεδομένο τον τύπο, τι μπορούμε να μετρήσουμε και τι να υπολογίσουμε;

Χριστίνα:        Με μια μετροταινία μετράμε το μήκος του l και με ένα χρονόμετρο την περίοδό του T.

Χαρά:              Άρα υπολογίζουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας g=4π²l / T²

Καθηγητής:     Και για να αποδείξουμε τη σταθερότητα της επιτάχυνσης της βαρύτητας;

Ανδρέας:         Επαναλαμβάνουμε το πείραμα για διαφορετικά μήκη του εκκρεμούς.

Καθηγητής:     Ώρα για πείραμα λοιπόν, με την επισήμανση ότι το μήκος του εκκρεμούς υπολογίζεται από το σημείο πρόσδεσής του μέχρι το κέντρο μάζας του σώματος. Περίοδος όμως τι καλείται;

Μιχάλης:         Περίοδος καλείται, το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να πάει το εκκρεμές από τη μία άκρη της ταλάντωσής του μέχρι την άλλη.

Καθηγητής:     Η περίοδος έχει την έννοια της πλήρους επανάληψης του φαινόμενου.

Μιχάλης:         Άρα να πάει το εκκρεμές από τη μία άκρη της ταλάντωσής του μέχρι την άλλη και να επιστρέψει.

Καθηγητής:     Σωστά και πώς θα περιορίσουμε το σφάλμα μέτρησης της περιόδου;

Χριστίνα:        Θα μετρήσουμε το χρονικό διάστημα δέκα πλήρων ταλαντώσεων και θα διαιρέσουμε με το δέκα.

Καθηγητής:     Η σύγχρονη τεχνολογία, μας επιτρέπει ακόμη και σε σχολικό εργαστήριο να μετράμε την περίοδο με ακρίβεια εκατοστού του δευτερολέπτου. Οπότε στο πείραμα του απλού εκκρεμούς θα χρησιμοποιήσουμε και την παλιά μέθοδο των δέκα περιόδων και τη σύγχρονη με ηλεκτρονικό χρονόμετρο.

Βασιλική:        Για τη μέτρηση των δέκα περιόδων θα χρησιμοποιήσουμε τα κινητά μας που είναι ηλεκτρονικά, άρα πού είναι η διαφορά;

Καθηγητής:     Σωστή παρατήρηση, η διαφορά έγκειται στον παρατηρητή, όχι στο όργανο. Στη μέτρηση του χρόνου υπεισέρχεται και ο χρόνος αντίδρασής μας όταν ανοίγουμε ή κλείνουμε το χρονόμετρο και για να ελαχιστοποιήσουμε την επίδρασή του διαιρούμε με το δέκα.

Βασιλική:        Φαντάζομαι ότι ένα τέτοιο όργανο θα είναι ακριβό.

Καθηγητής:     Όντως είναι για εξοπλισμό πανεπιστημιακών ή βιομηχανικών οργάνων. Εδώ όμως θα χρησιμοποιήσουμε το Arduino με αισθητήρα υπέρυθρων (IR sensor TCRT5000) με κόστος κάτω των 20€.

Βασιλική:        Το VCC ξέρω ότι πάει στο +5V του Arduino και το GND στο Ground, το AOUT και DOUT πού συνδέονται;

Καθηγητής:     Αυτά σηματοδοτούν αναλογική (AOUT) και ψηφιακή (DOUT)  έξοδο. Εμείς θα χρειαστούμε μόνο την ψηφιακή έξοδο. Σύνδεσε λοιπόν το DOUT σε όποια θήρα θέλεις, ας πούμε τη 13. Φόρτωσε το πρόγραμμα και ενεργοποιώντας την σειριακή οθόνη θα δεις την περίοδο για κάθε ταλάντωση.

Βασιλική:        Πράγματι, μετράει την περίοδο για κάθε ταλάντωση. Μιχάλη γιατί το πειράζεις;

Μιχάλης:         Δε βλέπεις, πιάνω το νήμα ενδιάμεσα και η περίοδος μικραίνει.

Καθηγητής:     Ωραία, στο επόμενο μάθημα το πείραμα και η εργασία σας έχει τίτλο «Το εκκρεμές του Φουκώ». Αφού αναφέρετε ότι είπαμε σήμερα, ψάξτε στο διαδίκτυο να δείτε πώς χρησιμοποίησε το εκκρεμές ο Φουκώ.

 

 

 

Συνέχεια:

 

Καθηγητής:     Καλημέρα παιδιά, βλέπω τις εργασίες σας για το εκκρεμές και η Πηνελόπη πρόσθεσε μια φωτογραφία του εκκρεμούς Φουκώ που υπάρχει στο Πάνθεο του Παρισιού, αλλά φιλοτέχνησε κι ένα δικό της σχέδιο. Για πες μας λοιπόν τι βρήκες;

Πηνελόπη:       Το 1851 ο  Γάλλος φυσικός Ζαν Μπερνάρ Λεόν Φουκώ στο Αστεροσκοπείο του Παρισιού πραγματοποίησε για πρώτη φορά το πείραμά του. Βασιζόμενος στο ότι ένα εκκρεμές ταλαντούμενο, δεν αλλάζει το επίπεδο ταλάντωσής του μιας και οι δυνάμεις βάρος και τάση νήματος βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, απέδωσε την παρατηρούμενη μεταβολή επιπέδου ταλάντωσης στην περιστροφή της Γης. Το 1851 ήταν πλέον αρκετά γνωστό ότι η γη κινείται, όμως το εκκρεμές του Φουκώ ήταν η πρώτη δυναμική – πειραματική απόδειξη. Λίγες βδομάδες αργότερα επανέλαβε το πείραμά του στο Πάνθεον του Παρισιού. Σήμερα υπάρχουν πολλά εκθέματα ανά την υφήλιο με το πείραμα του Φουκώ.

Καθηγητής:     Ωραία παρουσίαση.

Πηνελόπη:       Κύριε, βρήκα και κάτι άλλο για το εκκρεμές. Όταν προσπαθούσαν να ορίσουν τη μονάδα μέτρησης μήκους, μια ιδέα των Γάλλων επιστημόνων ήταν το μήκος εκκρεμούς που κτυπάει δευτερόλεπτα, δηλαδή με περίοδο 2 δευτερόλεπτα, αλλά επικράτησε η άποψη να ορίσουν το μέτρο ίσο με 1/40.000.000 ενός μεσημβρινού της Γης. Αντικατέστησα την περίοδο στον τύπο του εκκρεμούς και βρήκα ότι το εκκρεμές που κτυπάει δευτερόλεπτα έχει μήκος 99,396 εκατοστά με το σημερινό μέτρο. Αν είχε επικρατήσει η ιδέα τους τότε, εγώ σήμερα θα ήμουν ψηλότερη.

Καθηγητής:     Μπράβο, μου αρέσει όταν ψάχνετε διψώντας για γνώση κι όχι μόνο για τα καινούρια προϊόντα και τα κουτσομπολιά που κατακλύζουν το διαδίκτυο. Όσο για το ύψος σου θα ήταν μέσα στο στατιστικό λάθος μέτρησης ύψους. Ας ξεκινήσουμε τώρα το πείραμά μας, μετρώντας για κάθε μήκος του εκκρεμούς δέκα περιόδους με το χρονόμετρο του κινητού μας, συμπληρώνοντας την τρίτη στήλη του πίνακα. Εύκολα διαιρούμε με το δέκα για να συμπληρώσουμε την τέταρτη στήλη του πίνακα, ελέγχοντας παράλληλα πόσο αποκλίνει η τιμή που βρήκαμε από την ένδειξη του Arduino.

Καθηγητής:     Στο γραφείο σας οι υπολογισμοί και η γραφική παράσταση Τ²=f(l), σε ένα δίφυλλο και ο υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας, με δύο τρόπους:

·                 από το μέσο όρο

·                 από την κλίση της γραφικής παράστασης,

σαν εργασία στο σπίτι σας. 

Να θυμηθούμε ότι η εργασία μας πρέπει να περιέχει:

·                 Α. υπόθεση,

·                 Β. μετρήσεις και

·                 Γ. συμπεράσματα.