GRADEG

 

Τι είναι γωνία;

      Γωνία καλείται το τμήμα του επιπέδου που περικλείεται ανάμεσα σε δύο ημιευθείες           του, με κοινή αρχή.

1.   Σύροντας τις δύο ημιευθείες με κοινή αρχή, το επίπεδο κόβεται σε δύο γωνίες, την κυρτή γωνία και τη μη κυρτή γωνία.

2.   Αν οι δύο ημιευθείες είναι αντικείμενες τότε το επίπεδο κόβεται σε δύο ευθείες γωνίες (ημιεπίπεδα).

3.   Αν οι δύο ημιευθείες ταυτίζονται σε μία ημιευθεία, τότε η κυρτή γωνία λέγεται μηδενική γωνία και η μη κυρτή, λέγεται πλήρης γωνία.

Πώς μετράμε το άνοιγμα μιας γωνίας;

1.   Μια πανάρχαια μέθοδος, είναι αυτή των Βαβυλωνίων, που βασιζόμενοι στο εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης, αυθαίρετα διαίρεσαν τον κύκλο σε 360 ίσα τμήματα, τη γνωστή μας μοίρα, με αποτέλεσμα η ορθή γωνία να είναι 90 ⁰, η ευθεία 180 ⁰ και η πλήρης 360 ⁰.

2.   Πολύ αργότερα, ο κύκλος αυθαίρετα διαιρέθηκε σε 400 ίσα τμήματα, τους λεγόμενους βαθμούς, ώστε να έλθουμε στο προσφιλές μας δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και η ορθή να είναι 100 grad, η ευθεία 200 grad και η πλήρης 400 grad.

3.   Με την επέμβαση όμως των μαθηματικών, σταμάτησαν οι αυθαιρεσίες διότι απέδειξαν ότι όταν μια γωνία καταστεί επίκεντρη οποιουδήποτε κύκλου τότε το πηλίκο του μήκους του τόξου που κόβει προς το μήκος της ακτίνας, είναι σταθερό και ανεξάρτητο της ακτίνας. Αυτό ακριβώς το πηλίκο που εξαρτάται μόνο από το άνοιγμα της γωνίας και που σημειωτέον είναι αδιάστατο, ορίστηκε να εκφράζει το άνοιγμα της γωνίας. Έτσι το μήκος του τόξου που κόβει μια ορθή γωνία σε κύκλο ακτίνας R, είναι 2πR/4=πR/2 και το άνοιγμα της ορθής γωνίας θα είναι: πR/2/R=π/2 rad (το rad δεν είναι μονάδα, το χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε ότι πρόκειται για άνοιγμα γωνίας), το άνοιγμα της ευθείας είναι π rad και της πλήρους 2π rad.

4. Το διεθνές σύστημα μονάδων SI, υιοθέτησε το rad (από τη λέξη radius που σημαίνει ακτίνα) για τη μέτρηση του ανοίγματος των γωνιών.

Ο κύκλος λοιπόν έσωσε την κατάσταση.

Αδιάστατη μέθοδος μέτρησης γωνιών ήταν γνωστή και πριν τον κύκλο, με τα τρίγωνα. Αν από διάφορα σημεία της μιας ημιευθείας γωνίας φέρω κάθετες προς τη δεύτερη ημιευθεία, προκύπτουν όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Που σημαίνει ότι ο λόγος των ομόλογων πλευρών των τριγώνων είναι σταθερός και εξαρτάται μόνο από το άνοιγμα της γωνίας. Έτσι ορίσαμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

    1.   ημθ = απέναντι κάθετος / υποτείνουσα                        sinθ

    2.   συνθ = προσκείμενη κάθετος / υποτείνουσα                cosθ

    3.   εφθ = απέναντι κάθετος / προσκείμενη κάθετος          tanθ

    4.   και τους αντίστροφους αυτών.                            cscθ,  secθ,  cotθ.

          Και οι έξι είναι αδιάστατοι εφόσον διαιρούμε μέτρα με μέτρα, αλλά η τιμή τους ορίζει το άνοιγμα της γωνίας. Καλό θα είναι βέβαια, η ελληνική βιβλιογραφία να χρησιμοποιήσει την διεθνή ορολογία, την οποία ούτως ή άλλως αντιμετωπίζουν οι φοιτητές μας.

Ναι, αλλά με τα τρίγωνα μόνο οι οξείες γωνίες θα μετριούνται μιας και μόνο οξείες γωνίες ανήκουν σε ορθογώνια τρίγωνα.

Εδώ λύση έδωσε ο Καρτέσιος.

1.     Εφοδιάζω το επίπεδο που φέρει τη γωνία με ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

2.     Η αρχή του να ταυτίζεται με την κορυφή της γωνίας.

3.     Ο x΄x άξονάς του με τη πρώτη ημιευθεία.

4.     Τότε οποιοδήποτε σημείο της δεύτερης ημιευθείας θα έχει τετμημένη x, τεταγμένη y και απόσταση από την αρχή 

5.     Εφαρμόζω τους προηγούμενους ορισμούς:

6.     Οπότε με τη βοήθεια του Καρτέσιου και των τριγωνομετρικών αριθμών κατασκευάσαμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, με αποτέλεσμα να είμαστε σε θέση να μετράμε το άνοιγμα οποιασδήποτε γωνίας.

                                        7.    Και για ευκολία κατασκευάσαμε τον τριγωνομετρικό κύκλο.

          Τριγωνομετρικός κύκλος καλείται κάθε κύκλος που η ακτίνα του θεωρείται ίση με             τη μονάδα.

1.   Ο οριζόντιος άξονας, είναι ο άξονας των συνημίτονων.

2.   Ο κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας των ημιτόνων.

3.   Ο εφαπτόμενος κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας των εφαπτόμενων.